Teorema de Rolle

En càlcul, el teorema de Rolle estableix que

Si:

• f: [a, b] → ℝ és una funció contínua en un interval tancat [a,b]
• f és derivable en l'interval obert (a,b)
• f(a) = f(b)

Llavors: existeix algun nombre c en l'interval obert (a,b) tal que

f' (c) = 0.

Gràficament, això significa que si una corba regular surt i arriba per la mateixa altura, sempre existeix algun punt entre ells on la tangent és horitzontal.

Observeu que totes les assumpcions són necessàries. Per exemple, si f(x) = |x|, es té que f(-1) = f(+1), però no hi ha cap x entre -1 i +1 amb f ' (x) = 0. Això és perquè tot i que la funció és contínua, no és derivable en (-1,1).

El teorema va ser enunciat per primera vegada per Michel Rolle, publicat el 1691.

El teorema de Rolle s'utilitza, entre altres coses, per demostrar el teorema del valor mitjà de Cauchy.